Le pouls dans une artère

Comment le sang se déplace dans une artère pendant un battement cardiaque : le profil de vitesse, le cisaillement sur la paroi et les instants où il s'inverse. Solution exacte de Womersley, pour l'aorte, une artère plus petite ou tout vaisseau que vous saisissez.

GRATUIT · SANS INSCRIPTION v1.0.0 · vérifié sur 10 valeurs publiées

DONNÉESsolution exacte

1 · Écoulement au long du battement

2 · Vaisseau et sang

Diamètre du vaisseau [mm] Fréquence cardiaque [/min]

Vitesse moyenne maximale [m/s] Amplitude du pouls [m/s]

Viscosité du sang [mPa·s]

Valeurs par défaut : l'aorte ascendante simulée par De Tullio et al. (2009) : 27 mm, 69.3 battements par minute (866 ms), 0.81 m/s au pic. Essayez une artère plus petite ou un cœur plus rapide et observez l'évolution du profil.

3 · Lecture

VITESSE DANS LA SECTION DU VAISSEAU

Bleu : le profil à l'instant courant. Tirets : la parabole de Poiseuille pour le même débit, comme si l'écoulement était permanent. Gris : le profil à huit instants du battement.

SUR UN BATTEMENTdébit · contrainte de cisaillement pariétale

NOMBRE DE WOMERSLEY20.0α = R·√(ω/ν)

CENTRE / MOYENNE AU PIC1.21 ×Poiseuille : 2

CISAILLEMENT PARIÉTAL MAXIMAL6.40 Pa0.83 Pa si permanent

INDICE DE CISAILLEMENT OSCILLATOIRE0.4370 un seul sens · 0.5 aller-retour

Ce que montre ce battement

Nombre de Womersley 20.0 : l'inertie domine le cœur de l'écoulement. Le profil est plat sur la majeure partie du vaisseau, et la viscosité n'agit que dans une couche d'environ 0.95 mm d'épaisseur contre la paroi.
Au pic de débit, l'axe central s'écoule à 1.21× la vitesse moyenne ; l'écoulement de Poiseuille donnerait 2.
Contrainte de cisaillement pariétale maximale 6.40 Pa, contre 0.83 Pa si l'écoulement était pris comme permanent à chaque instant : un écart de +674 %.
Le cisaillement pariétal est en avance sur l'écoulement : de 42° à la fréquence cardiaque (0° pour un écoulement permanent, tendant vers 45° aux grands nombres de Womersley).
Contrainte de cisaillement pariétale moyennée dans le temps 0.15 Pa ; indice de cisaillement oscillatoire 0.437 (0 = toujours dans un sens, 0.5 = autant vers l'arrière que vers l'avant).
Pendant 70 % du battement, le sang le long de la paroi s'écoule vers l'arrière alors que le cœur de l'écoulement va encore vers l'avant.

VÉRIFIÉ SUR DES VALEURS PUBLIÉES · EXÉCUTÉ DANS NOTRE SUITE DE TESTS
Point comparé	Publié	Ce calculateur
Waite & Fine §7.7, harmonique 1 : 1 − 2J₁/(ΛJ₀)	0.5783 · 0.3292	0.5783 · 0.3292	concorde
Waite & Fine §7.7, harmonique 2 : 1 − 2J₁/(ΛJ₀)	0.7088 · 0.2467	0.7088 · 0.2467	concorde
De Tullio et al. 2009 : débit moyen de l'onde aortique	5 L/min	5.03 L/min	concorde
Waite & Fine §7.7 : vitesse permanente sur l'axe central	0.35525 m/s	0.35536 m/s	concorde
Womersley 1955, artère fémorale de chien : M′10 pour α = 4.72	0.7436	0.7437	concorde
Womersley 1955, artère fémorale de chien : M′10 pour α = 5.78	0.7839	0.7839	concorde
Womersley 1955, artère fémorale de chien : M′10 pour α = 6.67	0.8096	0.8096	concorde
Womersley 1955, artère fémorale de chien : M′10 pour α = 7.46	0.8278	0.8278	concorde
Womersley 1955, artère fémorale de chien : M′10 pour α = 8.17	0.8416	0.8414	concorde
Womersley 1955, artère fémorale de chien : M′10 pour α = 3.34	0.6651	0.6554	voir note

L'entrée α = 3.34 de Womersley est imprimée 0.6651 ; la même formule, et scipy, donnent 0.6554, alors que les cinq autres entrées concordent à 0.0002 près. Nous y voyons une coquille.
α petit : la parabole de l'écoulement permanent, avec le cisaillement pariétal en phase avec l'écoulement. α grand : un cœur plat et un cisaillement pariétal en avance de 45° sur l'écoulement. Les deux limites figurent dans la suite de tests.
Pour l'apprentissage et la comparaison uniquement. Pas pour le diagnostic ni le traitement.
Les parois élastiques, les bifurcations et l'écoulement en développement derrière une valve exigent une simulation complète, celle pour laquelle nous construisons Tessera. Découvrir Tessera →

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MÉTHODE DE CALCUL · AVEC VOS VALEURS

Étape par étape, avec vos valeurs

01
Nombre de Womersleyα = R·√(ω/ν) = 13.50 mm × √(2π / 0.866 s / 3.302 mm²/s) = 20.01Le rapport du rayon du vaisseau à la profondeur atteinte par le frottement de la paroi en un battement.
02
Couche visqueuse le long de la paroiδ = √(2ν/ω) = 0.954 mmCouche de Stokes de l'harmonique fondamentale ; les harmoniques supérieures ont des couches plus minces.
03
Débit moyen (Poiseuille)ū₀ = 0.1450 m/s · Q₀ = 4.981 L/min · u₀(r) = 2ū₀(1 − r²/R²)La part permanente du battement.
04
Chaque harmonique (Womersley 1955)u_n(r) = Re{ C_n [1 − J₀(Λ_n r/R) / J₀(Λ_n)] e^(inωt) }, Λ_n = α√n · i^(3/2)15 harmoniques ; pour la première, α₁ = 20.01 et F = 1 − 2J₁(Λ)/(ΛJ₀(Λ)) = 0.9318∠4.19°.
05
Contrainte de cisaillement pariétaleτ_w = 4μū₀/R − Re Σ μ C_n (Λ_n/R) J₁(Λ_n)/J₀(Λ_n) e^(inωt)Pic de 6.40 Pa ; le calcul quasi permanent 4μū/R donnerait 0.83 Pa.
06
Indice de cisaillement oscillatoireOSI = ½·(1 − |∫τ dt| / ∫|τ| dt) = 0.437Ku et al. (1985) : 0 lorsque le cisaillement pariétal ne s'inverse jamais, 0.5 lorsqu'il passe autant de temps vers l'arrière que vers l'avant.
07
Nombre de ReynoldsRe = ρ ū d / μ: 6 526 at peak 1 186 meanLa solution suppose un écoulement laminaire ; elle ne dit pas où un battement réel devient turbulent.

Références : Womersley, J. Physiol. 127 (1955) ; Waite & Fine, Applied Biofluid Mechanics (McGraw-Hill 2007), chap. 1 et 7 ; De Tullio et al., J. Fluid Mech. 622 (2009) ; Ku et al., Arteriosclerosis 5 (1985).

HYPOTHÈSES & LIMITES

Un tube droit, rigide et circulaire, loin des bifurcations et des coudes, avec un écoulement établi : pas de longueur d'entrée, pas d'onde se propageant le long d'une paroi élastique.
Sang considéré comme un fluide newtonien, 1060 kg/m³ ; écoulement laminaire.
L'onde d'écoulement est celle de l'aorte ascendante (De Tullio et al. 2009, lue sur leur Fig. 3b) en 15 harmoniques, étirée à la fréquence cardiaque et mise à l'échelle de la vitesse de pic. D'autres artères ont leurs propres ondes : la carotide continue de s'écouler vers l'avant en diastole, la fémorale rebrousse chemin.
Juste après la valve, l'écoulement réel est loin d'être établi : la couche contre la paroi croît encore depuis l'anneau, ce que cette solution ne voit pas. Lisez le cisaillement pariétal comme la limite de l'écoulement établi, à titre de comparaison.
Dans un tube rigide, le mouvement établi en systole survit au battement (il s'amortit sur R²/ν, de nombreuses secondes dans l'aorte) ; ainsi, en diastole, le cœur de l'écoulement continue d'avancer et le sang contre la paroi de reculer, sans débit net. Une aorte élastique et ramifiée se comporte différemment.
Pour l'apprentissage et la comparaison uniquement. Pas pour le diagnostic ni le traitement.

AVERTISSEMENT · Uniquement à des fins pédagogiques et de prédimensionnement. Les résultats doivent être vérifiés par un ingénieur qualifié avant toute utilisation en conception.

AU-DELÀ DU TUBE RIGIDE

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