Der Puls in einer Arterie

Wie sich Blut während eines Herzschlags durch eine Arterie bewegt: das Geschwindigkeitsprofil, die Schubspannung an der Wand und die Momente, in denen sie umkehrt. Womersleys exakte Lösung, für die Aorta, eine kleinere Arterie oder jedes Gefäß, das Sie eingeben.

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EINGABEexakte Lösung

1 · Strömung über den Herzschlag

2 · Gefäß und Blut

Gefäßdurchmesser [mm] Herzfrequenz [/min]

Maximale mittlere Geschwindigkeit [m/s] Pulsamplitude [m/s]

Blutviskosität [mPa·s]

Voreinstellungen: die Aorta ascendens, die De Tullio et al. (2009) simuliert haben: 27 mm, 69.3 Schläge pro Minute (866 ms), 0.81 m/s im Maximum. Probieren Sie eine kleinere Arterie oder ein schnelleres Herz und beobachten Sie, wie sich das Profil ändert.

3 · Wiedergabe

GESCHWINDIGKEIT ÜBER DEN GEFÄSSQUERSCHNITT

Blau: das aktuelle Profil. Gestrichelt: die Poiseuille-Parabel für denselben Volumenstrom, als wäre die Strömung stationär. Grau: das Profil zu acht Zeitpunkten des Herzschlags.

ÜBER EINEN HERZSCHLAGVolumenstrom · Wandschubspannung

WOMERSLEY-ZAHL20.0α = R·√(ω/ν)

MITTE / MITTEL IM MAXIMUM1.21 ×Poiseuille: 2

MAXIMALE WANDSCHUBSPANNUNG6.40 Pa0.83 Pa bei stationärer Strömung

OSZILLATORISCHER SCHERINDEX0.4370 nur eine Richtung · 0.5 hin und zurück

Was dieser Herzschlag zeigt

Womersley-Zahl 20.0: Die Trägheit beherrscht den Kern. Das Profil ist über den größten Teil des Gefäßes flach, und die Viskosität wirkt nur in einer etwa 0.95 mm dicken Schicht an der Wand.
Im Maximum des Volumenstroms läuft die Mittellinie mit 1.21× der mittleren Geschwindigkeit; die Poiseuille-Strömung ergäbe 2.
Maximale Wandschubspannung 6.40 Pa, gegenüber 0.83 Pa, wenn die Strömung in jedem Augenblick als stationär angenommen würde: ein Unterschied von +674 %.
Die Wandschubspannung eilt der Strömung voraus: um 42° bei der Herzfrequenz (0° bei stationärer Strömung, bei großen Womersley-Zahlen gegen 45°).
Zeitlich gemittelte Wandschubspannung 0.15 Pa; oszillatorischer Scherindex 0.437 (0 = immer in eine Richtung, 0.5 = ebenso viel zurück wie vor).
Während 70 % des Herzschlags strömt das Blut an der Wand rückwärts, während der Kern noch vorwärts strömt.

MIT VERÖFFENTLICHTEN WERTEN GEPRÜFT · IN UNSERER TESTSUITE AUSGEFÜHRT
Vergleich	Veröffentlicht	Dieser Rechner
Waite & Fine §7.7, Harmonische 1: 1 − 2J₁/(ΛJ₀)	0.5783 · 0.3292	0.5783 · 0.3292	stimmt überein
Waite & Fine §7.7, Harmonische 2: 1 − 2J₁/(ΛJ₀)	0.7088 · 0.2467	0.7088 · 0.2467	stimmt überein
De Tullio et al. 2009: mittlerer Volumenstrom der Aortenwelle	5 L/min	5.03 L/min	stimmt überein
Waite & Fine §7.7: stationäre Mittellinien-Geschwindigkeit	0.35525 m/s	0.35536 m/s	stimmt überein
Womersley 1955, Femoralarterie des Hundes: M′10 bei α = 4.72	0.7436	0.7437	stimmt überein
Womersley 1955, Femoralarterie des Hundes: M′10 bei α = 5.78	0.7839	0.7839	stimmt überein
Womersley 1955, Femoralarterie des Hundes: M′10 bei α = 6.67	0.8096	0.8096	stimmt überein
Womersley 1955, Femoralarterie des Hundes: M′10 bei α = 7.46	0.8278	0.8278	stimmt überein
Womersley 1955, Femoralarterie des Hundes: M′10 bei α = 8.17	0.8416	0.8414	stimmt überein
Womersley 1955, Femoralarterie des Hundes: M′10 bei α = 3.34	0.6651	0.6554	siehe Hinweis

Womersleys Eintrag für α = 3.34 ist als 0.6651 gedruckt; dieselbe Formel und scipy liefern 0.6554, während die übrigen fünf Einträge auf 0.0002 übereinstimmen. Wir halten es für einen Druckfehler.
Kleines α: die Parabel der stationären Strömung, mit der Wandschubspannung in Phase mit der Strömung. Großes α: ein flacher Kern und die Wandschubspannung 45° vor der Strömung. Beide Grenzfälle sind in der Testsuite enthalten.
Nur zum Lernen und Vergleichen. Nicht für Diagnose oder Behandlung.
Elastische Wände, Verzweigungen und die sich entwickelnde Strömung hinter einer Klappe erfordern eine vollständige Simulation, wie wir sie mit Tessera ermöglichen. Zu Tessera →

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SO WIRD GERECHNET · MIT IHREN ZAHLEN

Schritt für Schritt, mit Ihren Zahlen

01
Womersley-Zahlα = R·√(ω/ν) = 13.50 mm × √(2π / 0.866 s / 3.302 mm²/s) = 20.01Das Verhältnis des Gefäßradius zu der Tiefe, die der Wandwiderstand in einem Herzschlag erreicht.
02
Viskose Schicht an der Wandδ = √(2ν/ω) = 0.954 mmStokes-Schicht der Grundschwingung; die höheren Harmonischen haben dünnere Schichten.
03
Mittlerer Volumenstrom (Poiseuille)ū₀ = 0.1450 m/s · Q₀ = 4.981 L/min · u₀(r) = 2ū₀(1 − r²/R²)Der stationäre Anteil des Herzschlags.
04
Jede Harmonische (Womersley 1955)u_n(r) = Re{ C_n [1 − J₀(Λ_n r/R) / J₀(Λ_n)] e^(inωt) }, Λ_n = α√n · i^(3/2)15 Harmonische; für die erste gilt α₁ = 20.01 und F = 1 − 2J₁(Λ)/(ΛJ₀(Λ)) = 0.9318∠4.19°.
05
Wandschubspannungτ_w = 4μū₀/R − Re Σ μ C_n (Λ_n/R) J₁(Λ_n)/J₀(Λ_n) e^(inωt)Maximum 6.40 Pa; quasistationär ergäbe 4μū/R 0.83 Pa.
06
Oszillatorischer ScherindexOSI = ½·(1 − |∫τ dt| / ∫|τ| dt) = 0.437Ku et al. (1985): 0, wenn die Wandschubspannung nie das Vorzeichen wechselt; 0.5, wenn sie ebenso lange rückwärts wie vorwärts gerichtet ist.
07
Reynolds-ZahlRe = ρ ū d / μ: 6 526 at peak 1 186 meanDie Lösung setzt laminare Strömung voraus; sie sagt nicht, wo ein realer Herzschlag turbulent wird.

Literatur: Womersley, J. Physiol. 127 (1955); Waite & Fine, Applied Biofluid Mechanics (McGraw-Hill 2007), Kap. 1 und 7; De Tullio et al., J. Fluid Mech. 622 (2009); Ku et al., Arteriosclerosis 5 (1985).

ANNAHMEN & GRENZEN

Ein gerades, starres Rohr mit Kreisquerschnitt, fern von Verzweigungen und Krümmungen, mit voll entwickelter Strömung: keine Einlauflänge, keine Welle, die sich entlang einer elastischen Wand ausbreitet.
Blut als newtonsches Fluid, 1060 kg/m³; laminare Strömung.
Die Strömungswelle ist die der Aorta ascendens (De Tullio et al. 2009, aus deren Abb. 3b abgelesen) in 15 Harmonischen, auf die Herzfrequenz gestreckt und auf die Spitzengeschwindigkeit skaliert. Andere Arterien haben eigene Wellen: Die Karotis strömt in der Diastole weiter vorwärts, die Femoralarterie kehrt um.
Unmittelbar hinter der Klappe ist die reale Strömung weit von einer voll entwickelten entfernt: Die Schicht an der Wand wächst noch vom Anulus aus an, was diese Lösung nicht erfasst. Lesen Sie die Wandschubspannung als Grenzwert der voll entwickelten Strömung, zum Vergleich.
In einem starren Rohr überdauert die in der Systole angestoßene Bewegung den Herzschlag (sie klingt über R²/ν ab, in der Aorta viele Sekunden), sodass in der Diastole der Kern noch vorwärts und das Blut an der Wand rückwärts driftet, ohne Nettostrom. Eine elastische, verzweigte Aorta verhält sich anders.
Nur zum Lernen und Vergleichen. Nicht für Diagnose oder Behandlung.

HAFTUNGSAUSSCHLUSS · Nur für Ausbildung und Vorbemessung. Die Ergebnisse müssen vor der Verwendung in der Bemessung von einem qualifizierten Ingenieur geprüft werden.

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