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C-31 · 熱 & 流体 · 循環器
動脈の脈動
1回の心拍の間に血液が動脈の中をどのように流れるか：速度分布、壁にかかるせん断応力、そしてそれが逆向きになる瞬間。大動脈、より細い動脈、または入力した任意の血管について、ウォマーズリーの厳密解で求めます。
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v1.0.0 · 10 件の公表値との照合済み
青：現在の速度分布。破線：同じ流量で流れが定常であるとした場合のポアズイユの放物線。灰色：拍動中の8つの時刻の速度分布。
ウォマーズリー数20.0α = R·√(ω/ν)
ピーク時の中心 / 平均1.21 ×ポアズイユ：2
壁せん断応力のピーク6.40 Pa0.83 Pa 定常の場合
振動せん断指数0.4370 は一方向 · 0.5 は往復
この拍動が示すもの
- ウォマーズリー数 20.0：慣性が中心部を支配する。速度分布は血管の大部分で平坦で、粘性は壁付近の厚さ約 0.95 mm の層でのみ働く。
- 流量のピークでは、中心線の速度は平均流速の 1.21× になる。ポアズイユ流なら 2。
- 壁せん断応力のピークは 6.40 Pa。各瞬間に流れを定常とみなした場合は 0.83 Pa で、差は +674 %。
- 壁せん断応力は流れに先行する：心拍数の周波数で 42° (定常流では 0°、大きなウォマーズリー数で 45° に近づく)。
- 時間平均壁せん断応力 0.15 Pa、振動せん断指数 0.437 (0 = 常に一方向、0.5 = 順方向と逆方向が同じ長さ)。
- 拍動の 70 % の間、壁付近の血液は逆向きに流れ、中心部はなお順方向に流れる。
| 項目 | 公表値 | この計算ツール | |
|---|---|---|---|
| Waite & Fine §7.7、高調波 1：1 − 2J₁/(ΛJ₀) | 0.5783 · 0.3292 | 0.5783 · 0.3292 | 一致 |
| Waite & Fine §7.7、高調波 2：1 − 2J₁/(ΛJ₀) | 0.7088 · 0.2467 | 0.7088 · 0.2467 | 一致 |
| De Tullio et al. 2009：大動脈波形の平均流量 | 5 L/min | 5.03 L/min | 一致 |
| Waite & Fine §7.7：定常の中心線速度 | 0.35525 m/s | 0.35536 m/s | 一致 |
| Womersley 1955、イヌ大腿動脈：α = 4.72 での M′10 | 0.7436 | 0.7437 | 一致 |
| Womersley 1955、イヌ大腿動脈：α = 5.78 での M′10 | 0.7839 | 0.7839 | 一致 |
| Womersley 1955、イヌ大腿動脈：α = 6.67 での M′10 | 0.8096 | 0.8096 | 一致 |
| Womersley 1955、イヌ大腿動脈：α = 7.46 での M′10 | 0.8278 | 0.8278 | 一致 |
| Womersley 1955、イヌ大腿動脈：α = 8.17 での M′10 | 0.8416 | 0.8414 | 一致 |
| Womersley 1955、イヌ大腿動脈：α = 3.34 での M′10 | 0.6651 | 0.6554 | 注を参照 |
- Womersley の α = 3.34 の値は 0.6651 と印刷されているが、同じ式と scipy では 0.6554 となり、他の5つの値は 0.0002 以内で一致する。誤植と判断した。
- α が小さいとき：定常流の放物線で、壁せん断応力は流れと同位相。α が大きいとき：平坦な中心部で、壁せん断応力は流れより 45° 進む。どちらの極限もテストスイートに含まれる。
- 学習と比較のみを目的としています。診断や治療には使用しないでください。
- 弾性壁、分岐、弁の下流で発達する流れには、Tessera のような本格的なシミュレーションが必要です。 Tessera を見る →
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- 01ウォマーズリー数
α = R·√(ω/ν) = 13.50 mm × √(2π / 0.866 s / 3.302 mm²/s) = 20.01血管の半径と、1拍動の間に壁の抵抗が及ぶ深さとの比。 - 02壁付近の粘性層
δ = √(2ν/ω) = 0.954 mm基本高調波のストークス層。高次の高調波ではさらに薄くなる。 - 03平均流 (ポアズイユ)
ū₀ = 0.1450 m/s · Q₀ = 4.981 L/min · u₀(r) = 2ū₀(1 − r²/R²)拍動の定常成分。 - 04各高調波 (Womersley 1955)
u_n(r) = Re{ C_n [1 − J₀(Λ_n r/R) / J₀(Λ_n)] e^(inωt) }, Λ_n = α√n · i^(3/2)15 個の高調波。第1高調波では α₁ = 20.01、F = 1 − 2J₁(Λ)/(ΛJ₀(Λ)) = 0.9318∠4.19°。 - 05壁せん断応力
τ_w = 4μū₀/R − Re Σ μ C_n (Λ_n/R) J₁(Λ_n)/J₀(Λ_n) e^(inωt)ピーク 6.40 Pa。準定常の 4μū/R では 0.83 Pa になる。 - 06振動せん断指数
OSI = ½·(1 − |∫τ dt| / ∫|τ| dt) = 0.437Ku et al. (1985)：壁せん断応力が一度も逆転しなければ 0、順方向と同じ時間だけ逆方向になれば 0.5。 - 07レイノルズ数
Re = ρ ū d / μ: 6 526 at peak 1 186 meanこの解は層流を前提としており、実際の拍動のどこで乱流に移るかは示さない。
参考文献：Womersley, J. Physiol. 127 (1955)；Waite & Fine, Applied Biofluid Mechanics (McGraw-Hill 2007), 第1章・第7章；De Tullio et al., J. Fluid Mech. 622 (2009)；Ku et al., Arteriosclerosis 5 (1985)。
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