El pulso en una arteria

Cómo se mueve la sangre por una arteria durante un latido: el perfil de velocidad, la cizalladura en la pared y los instantes en que se invierte. Solución exacta de Womersley, para la aorta, una arteria más pequeña o cualquier vaso que usted introduzca.

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DATOS DE ENTRADAsolución exacta

1 · Flujo a lo largo del latido

2 · Vaso y sangre

Diámetro del vaso [mm] Frecuencia cardíaca [/min]

Velocidad media máxima [m/s] Amplitud del pulso [m/s]

Viscosidad de la sangre [mPa·s]

Valores por defecto: la aorta ascendente que simularon De Tullio et al. (2009): 27 mm, 69,3 latidos por minuto (866 ms), 0,81 m/s en el pico. Pruebe una arteria más pequeña o un corazón más rápido y observe cómo cambia el perfil.

3 · Reproducción

VELOCIDAD EN LA SECCIÓN DEL VASO

Azul: el perfil actual. Discontinua: la parábola de Poiseuille para el mismo caudal, como si el flujo fuera estacionario. Gris: el perfil en ocho instantes del latido.

A LO LARGO DE UN LATIDOcaudal · tensión cortante en la pared

NÚMERO DE WOMERSLEY20.0α = R·√(ω/ν)

CENTRO / MEDIA EN EL PICO1.21 ×Poiseuille: 2

TENSIÓN CORTANTE MÁXIMA EN LA PARED6.40 Pa0.83 Pa si fuera estacionario

ÍNDICE DE CIZALLAMIENTO OSCILATORIO0.4370 en un solo sentido · 0,5 de ida y vuelta

Qué muestra este latido

Número de Womersley 20.0: la inercia domina el núcleo. El perfil es plano en la mayor parte del vaso y la viscosidad actúa solo en una capa de unos 0.95 mm de espesor junto a la pared.
En el pico de caudal, el eje central circula a 1.21× la velocidad media; el flujo de Poiseuille daría 2.
Tensión cortante máxima en la pared: 6.40 Pa, frente a 0.83 Pa si el flujo se tomara como estacionario en cada instante: una diferencia de +674 %.
La tensión cortante en la pared se adelanta al flujo: 42° a la frecuencia cardíaca (0° para flujo estacionario, tendiendo a 45° con números de Womersley grandes).
Tensión cortante media temporal en la pared: 0.15 Pa; índice de cizallamiento oscilatorio 0.437 (0 = siempre en un sentido, 0,5 = tanto hacia atrás como hacia delante).
Durante el 70 % del latido, la sangre junto a la pared fluye hacia atrás mientras el núcleo sigue avanzando.

COMPROBADO CON VALORES PUBLICADOS · EJECUTADO EN NUESTRA BATERÍA DE PRUEBAS
Comparación	Publicado	Esta calculadora
Waite & Fine §7.7, armónico 1: 1 − 2J₁/(ΛJ₀)	0.5783 · 0.3292	0.5783 · 0.3292	coincide
Waite & Fine §7.7, armónico 2: 1 − 2J₁/(ΛJ₀)	0.7088 · 0.2467	0.7088 · 0.2467	coincide
De Tullio et al. 2009: caudal medio de la onda aórtica	5 L/min	5.03 L/min	coincide
Waite & Fine §7.7: velocidad estacionaria en el eje central	0.35525 m/s	0.35536 m/s	coincide
Womersley 1955, arteria femoral de perro: M′10 con α = 4.72	0.7436	0.7437	coincide
Womersley 1955, arteria femoral de perro: M′10 con α = 5.78	0.7839	0.7839	coincide
Womersley 1955, arteria femoral de perro: M′10 con α = 6.67	0.8096	0.8096	coincide
Womersley 1955, arteria femoral de perro: M′10 con α = 7.46	0.8278	0.8278	coincide
Womersley 1955, arteria femoral de perro: M′10 con α = 8.17	0.8416	0.8414	coincide
Womersley 1955, arteria femoral de perro: M′10 con α = 3.34	0.6651	0.6554	ver nota

El valor de α = 3,34 de Womersley figura impreso como 0,6651; la misma fórmula, y scipy, dan 0,6554, mientras que las otras cinco entradas coinciden hasta 0,0002. Lo consideramos una errata.
α pequeño: la parábola del flujo estacionario, con la tensión cortante en la pared en fase con el flujo. α grande: un núcleo plano y la tensión cortante en la pared 45° por delante del flujo. Ambos límites figuran en la batería de pruebas.
Solo para aprendizaje y comparación. No apto para diagnóstico ni tratamiento.
Las paredes elásticas, las bifurcaciones y el flujo en desarrollo tras una válvula requieren una simulación completa, el tipo de análisis para el que construimos Tessera. Ver Tessera →

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CÓMO SE CALCULA · CON SUS VALORES

Paso a paso, con sus valores

01
Número de Womersleyα = R·√(ω/ν) = 13.50 mm × √(2π / 0.866 s / 3.302 mm²/s) = 20.01La relación entre el radio del vaso y la profundidad que alcanza el arrastre de la pared en un latido.
02
Capa viscosa junto a la paredδ = √(2ν/ω) = 0.954 mmCapa de Stokes del armónico fundamental; los armónicos superiores tienen capas más delgadas.
03
Caudal medio (Poiseuille)ū₀ = 0.1450 m/s · Q₀ = 4.981 L/min · u₀(r) = 2ū₀(1 − r²/R²)La parte estacionaria del latido.
04
Cada armónico (Womersley 1955)u_n(r) = Re{ C_n [1 − J₀(Λ_n r/R) / J₀(Λ_n)] e^(inωt) }, Λ_n = α√n · i^(3/2)15 armónicos; para el primero, α₁ = 20.01 y F = 1 − 2J₁(Λ)/(ΛJ₀(Λ)) = 0.9318∠4.19°.
05
Tensión cortante en la paredτ_w = 4μū₀/R − Re Σ μ C_n (Λ_n/R) J₁(Λ_n)/J₀(Λ_n) e^(inωt)Pico de 6.40 Pa; el valor cuasiestacionario 4μū/R daría 0.83 Pa.
06
Índice de cizallamiento oscilatorioOSI = ½·(1 − |∫τ dt| / ∫|τ| dt) = 0.437Ku et al. (1985): 0 cuando la tensión cortante en la pared nunca se invierte, 0,5 cuando pasa tanto tiempo hacia atrás como hacia delante.
07
Número de ReynoldsRe = ρ ū d / μ: 6 526 at peak 1 186 meanLa solución supone flujo laminar; no indica en qué punto un latido real se vuelve turbulento.

Referencias: Womersley, J. Physiol. 127 (1955); Waite & Fine, Applied Biofluid Mechanics (McGraw-Hill 2007), cap. 1 y 7; De Tullio et al., J. Fluid Mech. 622 (2009); Ku et al., Arteriosclerosis 5 (1985).

HIPÓTESIS & LÍMITES

Un tubo recto, rígido y circular, lejos de bifurcaciones y curvas, con el flujo plenamente desarrollado: sin longitud de entrada y sin onda que se propague por una pared elástica.
Sangre como fluido newtoniano, 1060 kg/m³; flujo laminar.
La onda de flujo es la de la aorta ascendente (De Tullio et al. 2009, leída de su Fig. 3b) en 15 armónicos, ajustada a la frecuencia cardíaca y escalada a la velocidad máxima. Otras arterias tienen ondas propias: la carótida sigue fluyendo hacia delante en la diástole, la femoral retrocede.
Justo después de la válvula, el flujo real dista mucho de estar plenamente desarrollado: la capa junto a la pared sigue creciendo desde el anillo, algo que esta solución no contempla. Interprete la cizalladura en la pared como el límite plenamente desarrollado, a efectos de comparación.
En un tubo rígido, el movimiento generado en la sístole sobrevive al latido (se amortigua en un tiempo del orden de R²/ν, muchos segundos en la aorta), de modo que en la diástole el núcleo aún avanza y la sangre junto a la pared retrocede, sin flujo neto. Una aorta elástica y ramificada se comporta de otro modo.
Solo para aprendizaje y comparación. No apto para diagnóstico ni tratamiento.

AVISO LEGAL · Solo para fines formativos y predimensionado. Los resultados deben ser revisados por un ingeniero cualificado antes de utilizarse en el diseño.

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